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混沌-矛盾-演化(二):并非只有一个欧几里得描述的“自然”几何 | 连载五

平行假设 鲸鱼几何 广义相对论

公元前300年,古希腊数学家欧几里得撰写了巨著《几何原本》。该书通过公理、公设和定义的提出,配合由简到繁的演绎推理,先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容,成为两千多年来几何学的奠基之作。

欧几里得在书中提出了五条公理,全都成为了后世遵循的数学原则。这其中包括我们耳熟能详的“任意两个点可以通过一条直线连接”,“给定任意线段,可以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆”等等。为了突显欧几里得在几何方面做出的不朽贡献,西方学界将他提出的系列几何理论称之为“欧氏几何”。

欧几里得的几何理论并不是凭空生成的,它们的提出来源于他对公元前7世纪古埃及至公元前4世纪他生活的年代以来400多年数学经验的总结和提炼。在欧几里得之前的很长的一段时间内,人类并没有形成逻辑严密的几何学体系,在天文地理、水利、建筑设计等领域,也主要凭借一些零散的知识和经验。在多数时间内,整个几何学都处于混沌的状态。

《几何原本》的问世将这一状况彻底改观。不仅在当时,甚至在其之后出现的所有几何理论都没有能够超越里面讨论的范畴。原本一书极大地推进了人类在各个领域的进展,解决了长久以来很多无法解决的工程和物理难题。人们一度认为,欧氏几何是通过纯理性推演得到的有关宇宙的颠扑不破的真理,所有几何知识都可以被欧氏的思想完全统摄。 

但人类当中总有那么一群好奇的家伙,永远对事情持有怀疑的科学精神——即便是面对欧几里得这样的科学巨匠。他们发现,虽然欧氏五条公理的论证都无比严密,但最后一条“若一条线段与两条直线相交,若在其一侧所得的两个内角之和小于180度,则这两条直线在不断延长后必于内角和小于180度的一侧相交”显得不如其他公理那样滴水不漏。 

许多数学家感觉,这第五条“平行假定”公理本身并不错,但还远不到“不言而喻”的程度。事实上,欧几里得也只是在书中第一部的后面才用到这条公理,并且相比前四条论证也没有那么充分,这就为后来发生的颠覆埋下了伏笔。

19世纪上半叶,三位数学家分别独立地大胆设想了前人从未设想过的情况:或许在平行假定不成立的条件下也会存在有效的几何学。这种理论公然反对欧几里得第五公理,因而被命名为“非欧几何”。

要知道,否定平行假定需要极大的勇气,因为两千多年来,无数伟大的科学家都是这条公理的坚强后盾。这三名挑战者中的第一位是当时最负盛名的高斯,但是因为缺乏勇气,最终他并没有公开发表自己完整的见解。第二位是波尔约,在有了初步的进展之后,由于自己的想法遭到了大师高斯无情的抨击,波尔约也放弃了进一步的研究。

最后一位是俄罗斯的数学家罗巴切夫斯基,他在1837年发表了一篇论文,一举推翻了欧几里得的平行假定,人们把他发明的几何理论称作“罗巴切夫斯基几何”或者“双曲线几何”。

什么是“双曲线几何”?我们理解它的最佳方法就是先忘记平行假定与欧几里得的一切,尤其是我们从小到大形成的偏见——即欧氏几何是自然而然的产生于物质世界的。让我们把这种新的几何想象成海洋的几何,如果鲸鱼也掌握几何知识,它们发明的几何就应该是双曲线几何。

我们知道,鲸鱼在深邃的大洋里是通过声音感受外界和进行交流的,对于它们来说,两点之间的最短距离将是声波走过的路径。这一点就是问题的关键,由于声音在海水中的传播速度并非时时处处相等,在大约600米以下,它的传播速度跟它与水面的距离成正比,所以声波传播的路径并非直线而是曲线!

实际上,我们可以更准确地描述这些曲线的性质:它们是圆心自洋面的圆弧!所以,对于鲸鱼来说,被我们人类称为“圆”的东西实际上是它们的直线(两点之间的最短距离)。在鲸鱼几何中曲率是负值,也就是说,我们终于找到一种不符合欧氏第五公理推定的情形。在这里,最初平行的直线之间的距离最终会越来越大。

混沌-矛盾-演化(二):并非只有一个欧几里得描述的“自然”几何 | 连载五

我们终于发现,世界上并非只有一个欧几里得描述的“自然”几何。在这之后,我们又陆陆续续论证了蚂蚁几何、昆虫几何等等,它们之间的区别仅仅在于观察世界的角度不同而已。就是这样,人类通过不懈的奋斗,一次次推动了演化的产生。

事实上,在双曲线几何诞生之前的几个世纪,人类就已经发现了不同于欧氏几何的现象,这就是球面几何。我们早就发现“地球仪“上点与点之间连接的规律和平面上不同,只不过并没有从数学的角度去论证而已。在球面几何中曲率是正值,换言之,开始平行的直线(例如在赤道附近的经线)间的距离会不断变小,而且它们最后在南极与北极会聚。

在上面的例子中我们看到几何学的“演化”过程。和混沌一样,“演化”并非是对一个完全静止状态的描述,而指的是一系列连续变化的情况。只不过为了方便理解区分,也为了纪念那些卓有成效的时刻,人类时不时将它从事物发展的持续过程中抽离出来,这时的“演化”也就被赋予了更多结果上的含义。

故事到这里仍然没有结束,正如我们说的演化从来不会停止。上面描述的所有几何都是具有不变曲率的几何,但是到了三维、四维甚至更高维的空间,曲率会发生什么样的变化?人类开始继续设想,曲率一定是永恒不变的么?或许它可以随着地点而不断改变?

高斯的学生黎曼果然就在1854年将这一猜测推广到更高维的情况,这为后来爱因斯坦广义相对论(该理论假设我们的四维时空具有各处不同的曲率)的提出打下了坚实的基础。如果没有上面这些数学家勇敢的探索和挑战,爱因斯坦将永远无法写下他理论中的方程。

从混沌到演化的故事到这里就基本说完了,但我们是不是总感觉缺点什么?是什么让混沌能够发展到演化状态呢?在一切极不明晰的时候,我们又如何才能理出头绪?一定存在着某些关键的因素,能够帮助我们推动事情朝着更好的方向发展。

其实问题的答案在前面的文章里就已经提到:比如说洛伦兹方程里的两个变量乘积产生的“新变量”xz和xy,让一阶方程变成了二阶方程,导致后来所有的处理和计算都不一样了;比如鲸鱼几何里两点之间的最短距离由直线变成声波传递的“弧线”,这就使得最初平行的直线不会符合原来欧式几何的假设;包括上一篇文章谈到的质能方程式,爱因斯坦从纷繁复杂的宇宙万物中抽象出了物质和能量两个变量,通过总结它们之间的依存和转换关系,定义了世界的一般规律。

*文章为作者劫波李凯龙(ID:KalpaTech)原创独立观点。 未经授权, 禁止擅自转载。 

*李凯龙,数字机构劫波科技创始人兼CEO。

李先生就读于清华大学经济管理学院和法学院获得硕士学位,拥有香港中文大学mba及北京外国语大学语言文学学士文凭,并被公派到欧洲多个国家留学。李先生曾供职中美顶级的一/二级市场投资及基金;曾于腾讯从事研究与投资工作,期间在腾讯研究院担任首席研究员;曾出任中国五百强佳兆业金融控股总裁助理职务,负责战略业务规划及金融/科技/消费板块的投融资和运营管理。李先生还是清华-伯克利深圳学院和香港中文大学博士及研究生课程讲授学者,并为清华大学院系校友会之理事。

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